1°) Notion de racine carrée

 

2² = 4 ; 3² = 9 ; 4² = 16 ; 5² = 25 ; 7² = 49 ; (-7)² = 49  …

On dit que 7 est le nombre positif ayant pour carré 49, ou encore 7 est la racine carrée de 49.

De même, 5 est la racine carrée de 25.

On écrit :    Le symbole    est appelé radical.

Pour calculer une racine carrée on utilise la touche  de la calculatrice.

Par exemple,

Certaines racines carrées ne tombent pas justes, ce sont des nombres irrationnels. On calcule alors souvent leur valeur approchée.

Exemples :

 

Remarques :

-          La racine carrée n’est possible que pour un nombre positif

-          La racine carrée désigne toujours un nombre positif

-          Si a est positif :

-          Si a est positif :

Exemples :

 

2°) Propriétés

a)      produit

         5²= 25 ; 2² = 4 ;  (5 × 2)² = 10² = 100.
Ainsi,  Il en résulte que :

Ce raisonnement étant généralisable, on en déduit que :

 

   (pour tout couple a et b positifs). 

 

Applications : cette propriété permet de simplifier des racines ou des produits de racines.

 

Exemple 1 :

     On remarque que 75 = 3 × 25 est 25 est le carré de 5.

Exemple 2 :

Exemple 3 :

. On doit faire apparaître le facteur 3 dans chaque radical.

Ainsi, il est utile de décomposer : 75 = 3×25 ; 147 = 3×49.

b)      quotient

      On obtient une propriété similaire pour le quotient de deux racines :        (avec a positif et b>0)

Exemple 1 :

Exemple 2 :

 

Attention : il n’y a pas de formule pour les sommes de racines .