Equations 1

EQUATIONS et INEQUATIONS

Une équation est une égalité conditionnelle. On cherche la (ou les) valeur de l’inconnue (souvent notée x) qui vérifie l’égalité.

1°) Equations du premier degré

Une équation est dite du premier degré lorsque que l’inconnue est au maximum à la puissance 1 dans l’équation.

a) équations simples

7 + x = 21 est une équation d’inconnue x. « 7 + x » et « 21 » sont les deux membres de cette équation.

7 et x sont ici des termes. Pour trouver x on fait passer le terme « 7 » dans le membre de droite.

« On peut changer un terme de membre d’une équation à condition de changer aussi son signe »

ainsi, x = 21 – 7 = 14 ; on dit que 14 est la solution de l’équation.

Ne pas confondre ce type d’équation avec la suivante :

7 x = 21 . Ici « 7 » et « x » sont des facteurs. Pour trouver x, il suffit donc de diviser par 7 ; il n’est pas question de changer de signe !

x = 21 : 7 = 3 ; 3 est la solution de l’équation.

b) équation générale.

Voici la méthode pour résoudre une équation plus complexe du 1^er degré :

Exemple : 8x + 26 – x – 3 = 2x + 68

1^ère étape : on met toutes les inconnues dans un même membre : 8x – x – 2x = 68 – 26 + 3

2^ème étape : on réduit : 5x = 45

3^ème étape : on résout l’équation finale : x = 45 : 5 = 9

c) Problème concret :

Les équations servent surtout à résoudre des problèmes concrets; exemple : « Anthony achète 5 cahiers. Maxime n’achète que deux cahiers identiques à ceux de Maxime et un stylo à 1,26€. Tous les deux paient la même somme. Quel est le prix d’un cahier ?

1ère étape : choix de l’inconnue : soit x le prix d’un cahier

2^ème étape : mise en équation : on « traduit » le texte en langage mathématiques :

5x = 2 x + 1,26

3^ème étape : on résout l’équation : 5x – 2x = 1,26 ; 3x = 1,26, x = 1,26 :3 = 0,42.

4^ème étape : on donne la solution sous forme de phrase : « Le prix d’un cahier est de 0,42€. »

5^ème étape : on peut vérifier la solution : 5 cahiers font donc 5 ´ 0,42 = 2,10

2 cahiers plus un stylo coûtent : 2´0,42 + 1,26 = 0,84 + 1,26 = 2,10.

2°) Inéquations

a) ordre et multiplication

exemples: 7 < 9 7× 2 = 14 ; 9 × 2 = 18 ; on a bien 14<18 donc 7 × 2 < 9 ×2

3 < 5 3 × (-2) = -6 5 × (-2) = -10 on a -10 < -6 donc 5 × (-2) < 3 × (-2) : l'inégalité s'inverse si on la multiplie par un nombre négatif

a < b ; si c est positif, alors a × c < b × c
a < b ; si c est négatif:, alors a× c > b × c

On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre positif non nul

On change le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre négatif non nul

b) Inéquation

Exemple 1: résoudre 7x + 5 < 4 x + 11

On résout une inéquation de la même façon qu’une équation, c’est à dire en faisant passer les inconnues dans un même membre et les nombres « sans x » dans l’autre membre.

L’inéquation devient : 7x – 4x < 11 – 5

Soit : 3x < 6 ; d’où x < 6 : 3 donc les solutions sont : x < 2 , c’est à dire tous les nombres inférieurs à 2.

On représente l'ensemble des solutions sur un graphique:

Exemple 2: résoudre

Attention , on devise -5 nombre négatif, l'inégalité change de sens!

On remarque que le crochet est tourné vers la droite car 2 ne fait partie des solutions (partie barrée)

On remarque que le crochet est tourné vers la droite car -3 fait partie des solutions

3°) Exercices :

a) Résoudre: x + 18 = -13

b) Résoudre: - 8 x = 120

c) Résoudre: 5x + 19 = 2x + 46

d) Résoudre: 2x - 37 = 35 - 7 x