QUELQUES NOTIONS de TOPOLOGIE d’un espace vectoriel normé
Ouvert : voisinage pour chacun de ses points
Une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert
Une intersection quelconque de fermés est un fermé
Une intersection finie d’ouverts est un ouvert
Une réunion finie de fermés est un fermé
f est continue de E vers F si et seulement si :
l’image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E
ou l’image réciproque de tout fermé de F est un fermé de E
f est k lipschitzienne :
f uniformément continue sur A partie de E si :
Une application k lipschitzienne est uniformément continue.
Une application uniformément continue est continue.
Application linéaire continue :
Si f est linéaire de E normé dans F normé, les 4 propositions sont équivalentes :
Suite de Cauchy : (un) suite de Cauchy :
Une suite de Cauchy est bornée
Toute suite extraite d’une suite de Cauchy est de Cauchy.
Une suite de Cauchy possédant une valeur d’adhérence converge.
Toute suite convergente est de Cauchy
E est complet si toute suite de Cauchy converge.
Toute partie fermée d’un complet est complète
Compact : une partie A d’un espace vectoriel normé E est compact si toute suite d’éléments de A possède au moins une valeur d’adhérence.
Tout compact est complet
Tout fermé inclus dans un compact est compact
Les compacts sont des fermés bornés.
Théorème de Heine : toute application continue sur A partie compact à valeurs dans un espace vectoriel normé est uniformément continue sur A.
L’image d’une partie compacte incluse dans A compact par une application continue est compacte
Toute application continue sur un compact est bornée et la borne sup de sa norme est atteinte.
ESPACE VECTORIEL de DIMENSION FINIE :
. Toute application linéaire est continue
. Tout espace vectoriel de dimension finie est de Banach (complet)
. Les parties compactes sont les fermés bornés.
. De toute suite bornée on peut extraire une suite convergente.
. Deux normes sont toujours équivalentes
ESPACES METRIQUES :
Un espace métrique est connexe si et seulement si les parties à la fois ouvertes et fermées dans E sont E et Æ.
E est connexe si et seulement si il n’existe pas deux ouverts disjoints U et V tels que leur réunion soit égale à E.
L’image par une application continue d’un connexe est un connexe.
Une partie connexe par arcs est connexe
Une partie convexe est connexe par arcs.
Une partie étoilée est connexe par arcs.
Théorème des valeurs intermédiaires :
Si une fonction f à valeurs réelles est continue sur un connexe c . Si a=f(x) et b = f(y) avec x et y appartenant à C, alors pour tout c de [a,b], il existe z dans C tel que f(z)=c.