Exercice:   Sur la figure ci-contre le triangle ABC est rectangle en C, le point O est le milieu de [AB] et
P est un point du demi-cercle de centre O et de rayon OA.
1°) Démontrer que ABP est un triangle rectangle.
2°) En déduire que les points A, B, C et P sont situés sur un même cercle que l'on définira.

Solution:
1°) ABP triangle rectangle.

Selon l'énoncé, le point P est situé sur le cercle de [AB].
Théorème:
? Si l'hypoténuse d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle. Si on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre ce cercle alors on obtient un triangle rectangle en ce point. Si un triangle est inscrit dans un demi-cercle alors c'est un triangle rectangle.
Donc nous pouvons conclure que ABP est un triangle rectangle en P.

  

2°) Points sur un même cercle.

ABP et ABC sont deux triangles rectangles ayant la même [AB].
Théorème:
? Si un côté d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle. Si on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre ce cercle alors on obtient un triangle rectangle en ce point. Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est le diamètre de son cercle circonscrit. Si un triangle est rectangle alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle inscrit.
Nous pouvons donc conclure que les points A, B, C et P sont tous situés sur ? le cercle de rayon OA. le cercle de centre O. le cercle de diamètre [AB]. le cercle d'hypoténuse [AB]. .