Relatifs: rappels, addition, soustraction

NOMBRES RELATIFS: rappels, repérage, addition et soustraction

1°) Rappels

Le point A est repéré par le nombre +3; on dit que +3 est l'abscisse de A.
L'abscisse de B est +7; celle de D est -5; celle de C est -2.
L'abscisse de E est - 3,5.

Les nombres +3; +7, etc. sont des nombres positifs, leur signe est +
Les nombres -2; -5; -3,5 sont des nombres négatifs; leur signe est -
0 est à la fois positif et négatif.
Les nombres positifs et négatifs sont des nombres relatifs

Remarques:

Un nombre positif est toujours plus grand qu'un négatif. Exemple: -7 < +2
-3,5 est entre -3 et -4: -4 < -3,5 <-3
+3 peut s'écrire 3 par simplification d'écriture
Pour les calculs, on peut être amené à mettre les nombres relatifs entre parenthèses: (+7) = +7 = 7 ; (-3) = -3
(-5) et (+5) sont des nombres opposés.

2°) Coordonnées dans le plan.

Pour repérer un point dans le plan, il faut deux axes de coordonnées.

L'axe (x'x) est l'axe des abscisses
L'axe (y'y) est l'axe des ordonnées
Pour repérer un point, il faut donner son abscisse et son ordonnée
On écrit l'abscisse d'abord, puis l'ordonnée; par exemple le point A pour coordonnées: ( 2 ; 3 )

Voici les coordonnées des autres points:
B( 5 ; -2 ) ; C( -3 ; -3,5) ; D(-2 ; 4) ; E(-3,5 ; 0) ; F (0 ; -1,5)

Le point O est l'origine du repère, ses coordonnées sont: ( 0 ; 0 ).

3°) Addition des nombres relatifs.

Exemple 1: on monte de 2 étages, puis on monte encore de 3 étages. Au total, on a monté de 5 étages. Soit: (+2) + (+3) = (+5).
Exemple 2: on descend de 4 étages, puis on descend encore de 2 étages. En tout, on a alors descendu 6 étages. Soit (-4) + (-2) = (-6)

Règle:

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe:

on additionne les valeurs

on garde le signe commun

Exemple 3: à un jeu, on gagne 7 points, puis on perd 2 points. En tout, on n'a gagné que 5 points. Soit: (+7) + (-2) = (+5)
Exemple 4: la température d'un thermomètre baisse de 5 degrés la nuit, puis remonte de 2 degrés le matin. La température a baissé de 3 degrés en tout.
Soit: (-5) + (+2) = (-3).

Règle:

Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires:

on soustrait les valeurs
on prend le signe de celui qui avait la plus grande valeur

Exemples : (-7) + (-3) = (-10); (+2,8) + (+1,4) = (+4,2); (-15) + (+28) = (+13); (+1,2) + (-3,6) = (-2,4)

Exercices:

a) Calculer: (-27) + (-15) (Donner la réponse sans parenthèse, en mettant le signe + ou -; ne pas mettre un point au lieu d'une virgule)

Réponse:

b) Calculer: (+14,2) + (-7,5)

Réponse:

c) Calculer: (-8,6) + (+3,4)

Réponse:

d) Calculer: (+1,9) + (+6,5)

Réponse:

4°) Suite d'additions

- remarque: la somme de deux nombres opposés est nulle

exemple: (-17) + (+17) =0

- pour effectuer une suite d'additions:

éliminer par couple les nombres opposés
regrouper les positifs ensembles et les négatifs ensembles
additionner tous les positifs puis tous les négatifs
finir l'opération

Exemple: A = (-8) + (+9) + (-12) + (+13) (+8) + (+15) + (-13) + (-5) + (+4)
                  = [ (-8) + (+8) ] + [(+13) + (-13)] + (+9) + (+15) + (+4) + (-12) + (-5)
                  =          0            +          0              +            (+28)            +   ( -17)
                  =   (+28) + (-17)
                  = (+11) = 11

Exercice: Calculer B = (-15) + (+2,8) + (-4,5) + (+ 17,1) + (- 1,8) + (-2,8) + (-9,8) + (+15)

5°) Soustraction des nombres relatifs

(+7) et (-7) sont des nombres opposés.
(+7) + (-7) = 0 La somme de deux nombres opposés est nulle.

(+15) - (+7) = 15 -7 en simplifiant les notations et 15-7 = 8
Or, (+15) + (-7) = (+8) = 8
Ainsi; (+15) - (+7) = (+15) + (-7)

Pour soustraire deux nombres relatifs, on additionne l'opposé du second

Exemples: (+8) - (+3) = (+8) + (-3) = (+5)
(-3) - (-7) = (-3) + (+7) = (+4)

Exercices:

a) Calculer (+7,8) - (+9,5)

Réponse:

b) Calculer: (+4,7) - (-2,5)

Réponse:

c) Calculer: (-6,6) - (+2,4)

Réponse:

d) Calculer: (-1,9) - (-6,9)

Réponse:

5°) Notations simplifiées:

Dans la pratique, on utilise des notations simplifiées.
(+7) = 7 ; (+3) = 3
Donc: (+7) + (+3) = 7 + 3 = 10 ; ainsi lorsque se suivent les ++ ; on peut les remplacer par +
De même (+7) - (+3) = 7 - 3 = 4 ; or (+7) - (+3) = (+7) + (-3)
Cela revient à dire que (+7) + (-3) = 7-3 ; ainsi, lorsque se suivent les signes +- ou -+ , on peut les remplacer par - .
Enfin, les cas (+12) - (-5) = (+12) + (+5) = 12 + 5 permet de conclure que -- peut être remplacé par +

Conclusion, on peut simplifier les notations en utilisant le tableau suivant:

   + + = +
   - - = +
   + - = -
   - + = -

Application: pour effectuer une série d'additions et de soustractions, il est préférable de:

passer aux notations simplifiées
éliminer les éventuels opposés
regrouper les positifs puis les négatifs
effectuer l'opération restante

Exemple: C = (+18) - (-8,2) + (+15) + (+7) + (-3) - (+8,2) + (-5,7) - (-8,9) - (+8) + (+6) - (+7)
                  = 18 + 8,2 + 15 + 7 -3 -8,2 -5,7 + 8,9 - 8 + 6 - 7
                  = 8,2 - 8,2 + 7 - 7 + 18 +15 +8,9 - 3 - 5,7 -8
                  =      0       +    0    + 41,9            -   16,7
                  = 25,2

6°) Exercices supplémentaires: (d'après exercices de Franck Jarnier)