Triangle rectangle

Triangle rectangle:

1°) Triangle rectangle et demi-cercle

Théorème direct:

"Un triangle rectangle est inscriptible dans un demi-cercle de diamètre son hypoténuse"

Théorème réciproque:

"Si un triangle est inscriptible dans un demi-cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle"

2°) Théorèmes de Pythagore:

Théorème direct: "Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC²"

Exemple: Si ABC est rectangle en A et si AB = 4,8cm et AC = 2cm , voyons comment calculer BC.

ABC étant rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore: BC² = AB² +AC²

d'où BC² = 4.8² + 2²

BC² = 23.04 + 4 = 27.04

BC = = 5.2

Donc BC = 5,2cm.

Théorème réciproque: Si un triangle ABC est tel que BC² = AB² + AC², alors ABC est rectangle en A."

Exemple: Soit un triangle IJK tel que IJ = 6cm; IK = 6,3cm et JK = 8,7cm. Quelle est la nature de IJK?

Calculons : IJ² + IK²= 6² + 6.3² = 36 + 39.69 = 75.69

JK² = 8.7² = 75.69

Donc JK² = IJ² + IK². D'après le théorème réciproque de Pythagore, IJK est rectangle en I.

3°) Trigonométrie

a) Cosinus:

Si un triangle ABC est rectangle en B, on appelle cosinus de Â, le rapport:

cos (Â) = longueur du côté adjacent à Â / longueur de l'hypoténuse= AB / AC

Remarque: un cosinus est toujours inférieur à 1

Applications:

Calcul du côté adjacent.
Exemple: ABC est rectangle en B, tel que AC = 8cm et Â = 32°;
Calculer AB au mm près.

cos(Â) = AB / AC
donc cos(32°) = AB / 8

En utilisant les produits en croix, on en déduit:
AB = 8 cos (32°) = 6,8cm au mm près.

Calcul de l'hypoténuse:
Exemple: AEF est rectangle en E tel que EA = 7cm et Â = 44°;
calculer AF au mm près.

cos(Â) = AE / AF
donc cos(44°) = 7 / AF.

D'où 7 = AF cos (44°) et
AF = 7 / cos(44°) = 9,7cm au mm près.

Calcul de l'angle:
Exemple: AGH est rectangle en G tel que AG = 6cm et AH = 8cm;
calculer Â au degré près.

cos(Â) = AG / AH = 6 / 8

Donc Â = 41° au degré près
(on utilise la touche [INV] [COS] de la calculatrice)

b) Sinus:

Si un triangle ABC est rectangle en B, on appelle sinus de Â, le rapport:

sin (Â) = longueur du côté opposé à Â / longueur de l'hypoténuse= BC / AC

Remarque: un sinus est toujours inférieur à 1

Applications:

Calcul du côté opposé:
Exemple: ABC est rectangle en B, tel que AC = 8cm et Â = 35°;
Calculer BC au mm près.

sin(Â) = BC / AC
donc sin(35°) = BC / 8

En utilisant les produits en croix, on en déduit:
BC = 8 sin (35°) = 4,6cm au mm près.

Calcul de l'hypoténuse:
Exemple: AEF est rectangle en E tel que EF = 9cm et Â = 54°;
calculer AF au mm près.

sin(Â) = EF / AF
donc sin(54°) = 9 / AF.

D'où 9 = AF sin (54°) et
AF = 9 / sin(54°) = 11,1cm au mm près.

Calcul de l'angle:
Exemple: AGH est rectangle en G tel que GH = 7cm et AH = 8cm;
calculer Â au degré près.

sin(Â) = GH / AH = 7 / 8

Donc Â = 61° au degré près
(on utilise la touche [INV] [SIN] de la calculatrice)

c) Tangente:

Si un triangle ABC est rectangle en B, on appelle tangente de Â, le rapport:

tan (Â) = longueur du côté opposé à Â / longueur du côté adjacent = BC / AB

Applications:

Calcul du côté opposé:
Exemple: ABC est rectangle en B, tel que AB = 8cm et Â = 65°;
Calculer AB au mm près.

tan(Â) = BC / AB
donc tan(65°) = BC / 8

En utilisant les produits en croix, on en déduit:
BC = 8 tan (65°) = 17,1cm au mm près.

Calcul du côté adjacent:
Exemple: AEF est rectangle en E tel que EF = 3cm et Â = 24°;
calculer AE au mm près.

tan(Â) = EF / AE
donc tan(24°) = 3 / AE.

D'où 3 = AE tan (24°) et
AE = 3 / tan(24°) = 6,7cm au mm près.

Calcul de l'angle:
Exemple: AGH est rectangle en G tel que GA = 7cm et GH = 9cm;
calculer Â au degré près.

tan(Â) = GH / GA = 9 / 7

Donc Â = 52° au degré près
(on utilise la touche [INV] [SIN] de la calculatrice)

Exercice 1:

Un triangle ABC rectangle en A est tel que AB = 5,4cm et AC = 7.2cm. Calculer BC en cm. Veuillez entrer votre réponse :

Exercice 2:

Un triangle AEF est rectangle en E. Sachant que EF = 4,5cm et Â = 34°, calculer AF en cm au mm près. Veuillez entrer votre réponse:

Exercice 3:

Un triangle GHI est rectangle en G tel que GH = 7,4cm; GI = 11cm.Calculer Î au degré près. Veuillez entrer votre réponse: